1 Методы описания сигналов и систем

Сигналом называют процесс изменения во времени физической величины, который служит для отображения, регистрации и передачи сообщений. Другими словами, под сигналом понимается любой физический носитель сообщения. Если носителем являются электрическое напряжение или ток, то сигнал называется электрическим, если электромагнитная волна — то имеет место радио или оптический сигнал.
По роли в передаче информации сигналы можно разделить на полезные и шумовые. Когда шумы искажают информацию, переносимую полезным сигналом, их называют помехами, хотя в то же время они могут быть носителями иной информации. В радиоэлектронике в качестве полезного сигнала обычно рассматривают изменяющееся во времени напряжение u(t). 
В зависимости от характера изменения сигнала во времени и формы его математического представления различают регулярные и нерегулярные сигналы.

1.1 Временные и спектральные характеристики типовых воздействий и сигналов

Регулярный (детерминированный) сигнал изменяется по определенному закону  и может быть описан конкретной математической функцией времени. К классу регулярных сигналов относятся различные периодические сигналы и непериодические импульсы конечной длительности. Пример регулярного сигнала — импульс, описываемый экспонентой (рисунок 1.1, а).
Нерегулярный (случайный) сигнал изменяется во времени случайным образом и не может быть представлен в виде конкретной математической функции. Характер изменения случайного сигнала во времени показан на рисунке 1.1, б.

x(t)

0

t

И

И →0

е

x(t)

0

t

T

xm

ж

x(t)

0

t

1

a1

з

x(t)

0

t

a0

д

x(t)

0

t

a

x(t)

0

t

в

x(t)

0

t

г

x(t)

0

t

б

и

_

a0

Рисунок 1.1 – Виды сигналов и типовых воздействий

Если значение регулярного или случайного сигнала определено в каждый момент времени (рисунок 1.1, в), то сигнал называется непрерывным или аналоговым. Если же значения сигнала заданы лишь в некоторые моменты времени (рисунок 1.1, г), то он называется дискретным.
При экспериментальном и теоретическом исследовании радиоэлектронных систем и их элементов используют ряд стандартных сигналов, называемых типовыми воздействиями. Эти воздействия описываются простыми математическими функциями и легко воспроизводятся при испытании систем. Использование типовых («эталонных») воздействий позволяет унифицировать расчеты различных систем и облегчает сравнение передаточных свойств систем.
Наибольшее применение в радиоэлектронике находят следующие четыре типовых воздействия: ступенчатое, импульсное, гармоническое и линейное.
Ступенчатое воздействие — это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рисунок 1.1, д). Ступенчатому воздействию соответствует функция:
	(1.1)
При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина а0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием (единичным скачком) и обозначают 1 (t). Математическое выражение, описывающее единичный скачок, имеет вид:
	(1.2)
Любое неединичное ступенчатое воздействие можно обозначить а0 1 (t). Единичное ступенчатое воздействие, возникающее в момент времени t = t1, обозначают 1 (t – t1).
Импульсное воздействие представляет собой одиночный импульс прямоугольной формы (рисунок 1.1, е), имеющий достаточно большую высоту и весьма малую продолжительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы). Площадь такого импульса равна а0.
При математическом анализе элементов и систем используют единичное импульсное воздействие, которое описывается так называемой дельта - функцией 
	(1.3)
причём:
	(1.4)
Согласно выражениям (1.3) и (1.4) дельта-функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность 0, и единичную площадь. Дельта-функцию можно определить также как производную единичного скачка:
	(1.5)
Неединичное импульсное воздействие с площадью а0 обозначается а0δ(t).
Если единичный импульс действует в момент времени t = t1, то ему соответствует так называемая смещенная дельта-функция  (t – t1), которая также удовлетворяет условию (1.4).
Основное свойство дельта-функции выражается соотношением:
	(1.6)
Это свойство дельта-функции называют стробирующим или дискретизирующим.
В качестве стандартного гармонического воздействия используют обычно сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией:

	(1.7)
где хт — амплитуда сигнала; ω = 2/T — угловая частота, рад/с; Т — период сигнала, с.
Гармонический сигнал, начинающий действовать в момент времени t = 0 (рисунок 1.1, ж), описывают при помощи единичной ступенчатой функции:
	(1.8)
Гармонические воздействия (1.7) и (1.8) широко используются при исследовании точности и устойчивости радиоэлектронных систем. Это объясняется двумя обстоятельствами: во-первых, реальные возмущения часто имеют периодический характер и поэтому могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих; во-вторых, математический аппарат анализа автоматических систем хорошо разработан именно для случая гармонических воздействий.
Для следящих и программных систем типовым является линейное воздействие (рисунок 1.1, и):
	(1.9)
Коэффициент а1  характеризует скорость нарастания воздействия x(t).
Основные сведения из гармонического анализа воздействий и сигналов. При описании и исследовании различных систем применяется разложение реальных сигналов сложной формы на элементарные сигналы синусоидальной формы. Математический метод представления сложных сигналов (периодических и непериодических) в виде совокупности элементарных гармонических составляющих (гармоник) называется гармоническим анализом.
Рассмотрим основные положения этого метода. Как известно из курса высшей математики, любая периодическая функция с периодом T,:
                                  x(t)=x(t+iT) (i=0; 1; 2; . . . ),                                  (1.10)
удовлетворяющая условиям Дирихле  интервале периода Т: 1) всюду однозначна, конечна и кусочно-непрерывна, 2) имеет ограниченное число максимумов и минимумов, может быть разложена в бесконечный сходящийся тригонометрический ряд — ряд Фурье:
 	(1.11)
где ω1 = 2/Т, ωk = ω1k — угловые частоты соответственно основной и k-й гармоник, а0, ak , bk — независимые от t коэффициенты (коэффициенты Фурье), которые определяются по формулам:
	(1.12)
	(1.13)
Ряд Фурье обладает важным свойством: при заданном конечном числе членов дает лучшее приближение (по критерию суммы квадратов отклонений), чем любое другое разложение функции х (t).
С помощью формулы Эйлера:
	(1.14)
и ее модификаций:
	(1.15)
ряд (1.11) можно преобразовать к комплексной форме ряда Фурье:
	(1.16)
где:
.	(1.17)
В формуле (1.16) суммирование производится как по положительным, так и по отрицательным значениям k. Это означает, что комплексная форма ряда Фурье допускает существование и положительных и отрицательных частот. Так как каждому комплексному слагаемому с  положительным k соответствует сопряженное слагаемое с отрицательным k, то при суммировании в (1.16) останутся только действительные величины.
Слагаемые в (1.16) называются комплексными гармониками, а сомножители Xk — комплексными амплитудами. Зависимость модуля |Хk| комплексной амплитуды от частоты называют амплитудным спектром сигнала x(t). При переходе от периодических сигналов к непериодическим период Т   и сумму (1.16) можно заменить интегралом Фурье:
	(1.18)
а выражение (1.17) для комплексной амплитуды – так называемым преобразованием Фурье:
	(1.19)
Непериодический сигнал х(t), представленный в виде интеграла (1.18), можно по аналогии с периодическим сигналом, разложенным в ряд (1.16), рассматривать как сумму бесконечно большого числа комплексных гармоник с бесконечно малыми комплексными амплитудами:
	(1.20)
Так как амплитуда dX характеризует спектр, приходящийся на интервал от  до  + d, то величину:
	(1.21)
называют комплексной спектральной плотностью, а зависимость ее модуля X(j) от частоты — спектральной плотностью амплитуд.
Спектральная плотность мощности X(j)2 выражается равенством Парсеваля:
 	(1.22)
которое утверждает, что энергия, заключенная в сигнале x(t), равна сумме энергий всех составляющих его спектра.

1.2 Передаточные свойства элементов и систем

1.2.1 Линейные дифференциальные уравнения

Наиболее общей и наиболее полной формой математического описания систем и их элементов являются дифференциальные уравнения. Для большинства реальных элементов исходное уравнение, составленное строго в соответствии с законами физики, оказывается нелинейным, что значительно усложняет все последующие процедуры анализа. Поэтому всегда стремятся перейти от трудно разрешимого нелинейного уравнения к линейному дифференциальному уравнению вида: 
	(1.23)
где х(t) и у(t) — входная и выходная величины элемента или системы; ai ,
bi-коэффициенты уравнения.
Уравнение (1.23) устанавливает связь между входной и выходной величинами как в переходных, так и в установившихся режимах.
Коэффициенты дифференциального уравнения называются параметрами. В большинстве практических случаев коэффициенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с постоянными параметрами.
Рассмотрим типовые формы записи линейного дифференциального уравнения (1.23).
Удобной формой записи линейных дифференциальных уравнений является символическая или операторная. Переход к этой форме осуществляют введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования: d/dt = р. Соответственно k-ю производную переменной у обозначают:
dky(t)/dtk = pky(t),	(1.24)
тогда уравнение (1.23) в символической форме будет иметь вид:
(a0pn + a1pn–1 +…+an) y(t) = (b0pm + b1pm–1 +…+ bm) x(t).	(1.25)
Многочлены от р степени п и т, находящиеся в левой и правой частях уравнения (1.25), называются дифференциальными операторами. Каждый такой оператор устанавливает соответствие между функцией времени и определенной совокупностью производных этой функции. Многочлен:
a0pn + a1pn–1 +…+ an = D(p)	(1.26)
называют собственным оператором, а многочлен:
b0pm + b1pm–1 +…+ bm = K(p)	(1.27)
 — входным оператором или оператором воздействия.
Название собственный обусловлено тем, что многочлен D(p) характеризует собственное движение элемента, т. е. движение при отсутствии внешних воздействий. Оператор D(р) называют также характеристическим.
У всех реальных элементов и систем порядок наивысшей производной во входном операторе не может быть больше порядка наивысшей производной в собственном операторе, т. е, всегда т ≤ п. Если в процессе каких-либо формальных выкладок образуется уравнение, у которого т > п, то говорят, что это уравнение соответствует физически нереализуемой системе.

1.2.2 Временные характеристики

Дифференциальное уравнение является самой общей формой описания элемента и не дает наглядного представления о передаточных свойствах элемента. Наглядное представление об этих свойствах дает функция у(t), являющаяся решением дифференциального уравнения. Но одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, конкретный вид которых зависит от начальных условий и от характера функции х(t), т. е. от начального состояния элемента и вида внешнего воздействия.
Поэтому принято динамические свойства элементов и систем характеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий. В качестве типового воздействия принимают единичное ступенчатое, дельта-функцию или гармоническое воздействие.
Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция (характеристика). Переходной функцией h(t) называют изменение выходной величины у(t) во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях. Переходная функция может быть задана в виде графика (рисунок 1.2, а) или в виде формулы.

а

0

y(t)

w(t)

x(t)

0

1

1(t)

x(t)

δ(t)

t

t

y(t)

0

1

h(t)

0

1

t

t

б

Рисунок 1.2 – Переходная (а) и импульсная переходная (б) характеристики
где k — корни характеристического уравнения; Ck — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий

Переходная функция h(t), как и любое решение неоднородного дифференциального уравнения вида (1.23), имеет две составляющие: вынужденную hв(t) и свободную hс(t). Вынужденная составляющая переходного процесса представляет собой, как известно, частное решение исходного уравнения. При ступенчатом воздействии вынужденная составляющая равна установившемуся значению выходной величины, которое для статических элементов может быть определено непосредственно из дифференциального уравнения (при нулевых производных):
hв(t) = y() = bm/an.	(1.28)
Свободная составляющая hс(t) может быть найдена как решение соответствующего однородного дифференциального уравнения в следующем виде (при отсутствии одинаковых корней):
	(1.29)
Характеристическое уравнение, соответствующее определенному дифференциальному уравнению, представляет собой, как известно, алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части этого дифференциального уравнения. Для дифференциального уравнения, записанного в форме (1.23), характеристическое уравнение имеет вид:
	(1.30)
Для линейных элементов и систем, кроме принципа суперпозиции, справедливо еще одно общее правило: реакция у(t) на неединичное ступенчатое воздействие а0 1(t) равна произведению переходной функции h(t) на величину множителя а0, т.е. y(t) = a0h(t). Это свойство широко используется при исследовании и расчете линейных систем.
Импульсной переходной функцией w(t) называют изменение выходной величины у(t), возникающее после подачи на вход дельта-функции, при нулевых начальных условиях (рисунок 1.2, б). Функцию w(t) называют также весовой функцией.
Если входное воздействие представляет собой неединичный импульс а0δ(t), то ординаты функции выходной величины у(t) будут в а0 раз больше ординат функции w(t), т. е. у(t) = a0w(t).
Импульсная переходная функция w(t) равна производной от переходной функции h(t):
	(1.31)
и наоборот, переходная функция равна интегралу от импульсной переходной:
	(1.32)
При помощи импульсной переходной функции элемента можно определить его реакцию на входное воздействие произвольного вида. Связь между изменениями входной и выходной величин во времени устанавливается  интегралом свертки:
	(1.33)

1.2.3 Операционный метод и передаточная функция

Наиболее распространенным методом описания и анализа радиоэлектронных систем является операционный метод (метод операционного исчисления). В основе метода лежит преобразование Лапласа:
X(s) = L{x(t)} = ,	(1.34)
которое устанавливает соответствие между функцией действительной переменной x(t) и функцией комплексной переменной s = α + jβ. Функцию времени х(t), входящую в интеграл Лапласа (1.34), называют оригиналом, а результат интегрирования — функцию X(s) — изображением функции х(t) по Лапласу.
Преобразование Лапласа выполнимо только для таких функций времени, которые равны нулю при t < 0. Это условие обеспечивается обычно умножением функции х(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t). С математической и физической точек зрения такой искусственный прием вполне корректен, так как функции х(t) описывают процессы в радиоэлектронных системах, начинающиеся с некоторого момента времени, а этот момент времени всегда может быть принят за начало отсчета.
Изображения различных функций времени, и основные свойства преобразования Лапласа приведены в справочниках по операционному исчислению.
Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа являются свойства, формулируемые обычно в виде правила:
при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала х(t) по переменной t соответствует умножение изображения X(s) на комплексную переменную s, а интегрированию оригинала соответствует деление X(s) на s.
Именно на этих двух свойствах основан операционный метод решения дифференциальных уравнений, который заключается в следующем. Исходное дифференциальное (или интегро-дифференциальное) уравнение, записанное относительно искомой выходной функции у(t), заменяют на алгебраическое уравнение относительно изображения Y(s) (это называется алгебраизацией дифференциального уравнения), затем, решая алгебраическое уравнение при заданном X(s), находят  изображение Y(s) и, наконец, по изображению Y(s) определяют функцию у(t). Этот обратный переход от изображений к оригиналам в большинстве практических задач может быть осуществлен при помощи таблиц, имеющихся в специальных справочниках по операционному исчислению.
Широкое распространение операционного метода обусловлено тем, что с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.
Применим преобразование Лапласа к линейному дифференциальному уравнению (1.23), полагая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю. Используя свойство линейности и правило дифференцирования, можно получить алгебраическое уравнение в изображениях:
D(s)Y(s) = K(s)X(s), 	(1.35)
где:
D(s) = a0sn+a1sn–1+…+an;	
K(s) = b0sm+b1sm–1+…+bm .	
Сравнивая уравнение (1.35) с уравнением в символической форме (1.25), можно заметить полную аналогию их структур. Различие уравнений в том, что символ р в (1.25) обозначает операцию дифференцирования, а символ s в (1.35) — комплексную переменную.
Передаточной функцией W(s) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях (все величины равны нулю при t < 0):
W(s)=Y(s)/X(s)=L{y(t)}/L{x(t)}.	(1.36)
Для системы, описываемой уравнением (1.23), передаточная функция равна отношению входного оператора К(s) к собственному оператору D(s):
.	(1.37)
Как следует из (1.36) и (1.37), передаточная функция представляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через линейный элемент (рисунок 1.3, а).
Передаточную функцию формально можно получить из дифференциального уравнения путем замены в нем символа p на символ s соответствующей степени и деления образованного таким образом многочлена правой части уравнения на многочлен левой части.
Передаточную функцию электрических четырехполюсников удобно получить, пользуясь понятием операторного сопротивления. Для этого четырехполюсник необходимо представить в виде схемы делителя напряжения (рисунок 1.3, б), состоящей из двух операторных сопротивлений Z1(s) и Z2(s). Тогда передаточная функция между входным (u1) и выходным (u2) напряжениями может быть определена как отношение выходного сопротивления Zвых(s)=Z2(s) к входному Zвх(s)=Z1(s)+Z2(s):
,	(1.38)
где Z1(s) и Z2(s) найдены как эквивалентные операторные сопротивления входного и выходного участков, состоящих из типовых элементов электрических цепей (рисунок 1.3, в).
а				                                       б

W(s)

X(s)		        Y (s)	

Z1(s)

u1(s)

u2(s)

Z2(s)

в							        		                    
    R		         L		  C

Z(s)=R	             Z(s)=sL 	      Z(s)=1/sC

Рисунок 1.3 – Схемы для определения передаточной функции

Напомним известные из курса электричества формулы, связывающие ток i c напряжением u в типовых элементах R, C и L:
	(1.39)
Преобразованные по Лапласу эти формулы имеют вид:
	(1.40)
Отсюда операторные сопротивления соответственно:
	(1.41)
Рассмотрим теперь основные свойства и особенности передаточных функций систем и их элементов.
Передаточная функция элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Лапласа:
W(s) = L{w(t)}=	(1.42)
Для реальных элементов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями вида (1.23), передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя меньше или равна степени многочлена знаменателя, т. е. т ≤ п. Все коэффициенты передаточной функции — действительные числа, характеризующие параметры элемента. Передаточная функция является функцией комплексной переменной s =   j, которая может при некоторых значениях переменной s обращаться в нуль или бесконечность. Значение переменной  s, при котором функция W(s) обращается в нуль, называют нулем, а значение, при котором обращается в бесконечность, — полюсом передаточной функции.
Очевидно, что нулями передаточной функции являются корни полинома К(s), а полюсами — корни полинома D(s). Корни полиномов числителя и знаменателя могут быть комплексными, мнимыми и вещественными числами (в том числе и нулевыми). Если эти корни известны, то передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
,	(1.43)
где γi  — корни многочлена К(s) (нули W(s)); λi — корни многочлена D(s) (полюсы W(s)).
Таким образом, каждой конкретной передаточной функции с заданными коэффициентами соответствует вполне определенное сочетание нулей и полюсов. По распределению нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости с координатами α и j можно судить о свойствах элемента или системы.

1.2.4 Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Зная частотную характеристику элемента, можно определить реакцию элемента на гармоническое воздействие любой частоты, а также на сумму гармонических воздействий различной частоты.
Рассмотрим физическую сущность и разновидности частотных характеристик. Пусть на вход линейного элемента (рисунок 1.4, а) в момент времени t = 0 подано гармоническое воздействие определенной частоты ω:
x(t)=xm sin ωt. 	(1.44)
Через некоторое время, необходимое для протекания переходного процесса (т.е. для исчезновения свободной составляющей), элемент войдет в режим установившихся вынужденных колебаний, а выходная величина у(t) будет изменяться  по гармоническому закону с той же частотой , но с отличающейся амплитудой уm и со сдвигом ∆t по оси времени (рисунок 1.4, б):
y(t)=ym sin (ωt+),	(1.45)
где =(∆t /T) 360 — фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами, градус.

W(jω)

0<ω<∞

–∞< ω <+∞ 

y(t)=ym sin (ωt+)

x(t)=xm sinωt

X(jω)

Y(jω)

а

ym 0

xm 0

Δt

T=

y(t)

x(t)

t

x(t)

б

y(t)

0

Рисунок 1.4 – Схема для определения понятий частотного метода

Повторяя такой эксперимент при фиксированном хт для различных значений частоты (от 0 до ), можно установить, что амплитуда ут и фазовый сдвиг  выходного сигнала конкретного элемента зависят от частоты воздействия. Подавая гармоническое воздействие на вход различных элементов, можно убедиться, что величины ут и  зависят также от типа и параметров элемента. Следовательно, зависимости амплитуды ут и сдвига  от значений частоты  могут служить характеристиками динамических свойств элементов.
Так как амплитуда выходного сигнала ут зависит еще от амплитуды входного сигнала хт, целесообразно при описании передаточных свойств элементов рассматривать отношение амплитуд ym/xm .
Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты называют амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают А() (рисунок 1.5, а). Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) () (рисунок 1.5, б). Аналитические выражения A(ω) и () называют соответственно амплитудной и фазовой частотными функциями.
Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую — амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или АФХ). Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(j) представляет собой функцию комплексной переменной j (см. пояснение к формуле (1.16)), модуль которой равен А(), а аргумент равен (). Каждому фиксированному значению частоты i соответствует комплексное число W(ji), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину А(i) и угол поворота (i) (рисунок 1.5, в).

0

ωi

A(ω)

A(ωi)

ω

k

0

 (ω)

 (ωi)

–270°

ω

0

L(ω)

lg ω,
декада

ω, рад/с

ωс1

ωс2

101

102

100

2

1

3

103

40

2020

60

б

г

0

jQ(ω)

P(ω)

ω=∞

La

L

k,дБ

 (ωi)

ω=0

ω1

ω2

ωi

k

в

W(jωi)

A(ωi)

а

Рисунок 1.5 – Частотные характеристики: амплитудная (а); фазовая (б); амплитудно-фазовая (в); логарифмическая (г)

Отрицательные значения (), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.
При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(j) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно увеличивается или уменьшается длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.
Проекции вектора W(j) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают Р()=ReW(j), Q()=ImW(j). Отметим, что действительная частотная характеристика Р() — всегда четная функция частоты, а мнимая характеристика Q () — всегда нечетная функция.
Аналитическoe выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки s = j:
W(j)= W(s)s=j .	(1.46)
АФХ W(j), как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной форме:
W(j) = A()ej(),	(1.47)
алгебраической:
W(j) = P() + jQ() 	(1.48)
или тригонометрической:
W(j) = A()cos  () + jA()sin ().	(1.49)
Связь между различными частотными функциями следующая:
A()=W(j) =	(1.50)
() = argW(j) = arctg(Q()/P()).	(1.51)
Поскольку АФХ W(j), так же как и передаточная функция, представляет собой обычно дробь, то ее модуль может быть найден как отношение модуля числителя к модулю знаменателя:
A() = W(j) = K(j)/D(j),	(1.52)
а аргумент функции W(j) — как разность аргументов числителя и знаменателя:
() = arg W (j) = arg K(j) – arg D (j).	(1.53)
При практических расчетах систем удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. В логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствуют сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.
За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада — интервал частот, заключенный между произвольным значением i и его десятикратным значением 10 i  Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.
Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ):
L() = 20 lg A(),	(1.54)
ординаты которой выражают в логарифмических единицах — белах (Б) или децибелах (дБ) [см.раздел 4.2]. При аппроксимации реальной ЛАЧХ ломаной линией максимальная погрешность равна 3 дБ в точке излома на сопрягающей частоте с1 (рисунок 1.5, г).
При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс.
АФХ устанавливает связь между выходным и входным сигналами, являющимися гармоническими функциями или их линейными комбинациями. Поэтому АФХ можно определить как отношение изображения по Фурье выходной величины Y(j) к изображению входной величины X (jω):
W(j) = Y(j)/X(j).	(1.55)
В этом случае комплексная переменная j изменяется от – до + , так как любой реальный сигнал может быть разложен на сумму только попарно сопряженных вращающихся  векторов.
АФХ элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Фурье (1.19):
W(j) = .	(1.56)
При применении двустороннего преобразования (1.19) к функции w(t) учтено, что при t < 0 x(t) 0, и поэтому в (1.56) нижний предел  интегрирования принят равным нулю.
По виду частотных характеристик все элементы и системы делятся на две группы: минимально-фазовые и неминимально-фазовые.  Минимально-фазовыми являются элементы (системы), у которых все полюсы и нули передаточной функции W(s) имеют отрицательные действительные части. Такие элементы дают минимальный фазовый сдвиг (ω) по сравнению с неминимально-фазовыми элементами, имеющими такую же амплитудную характеристику А(ω), но у которой действительная часть хотя бы одного полюса или нуля положительна. Минимально-фазовые элементы обладают важным для практических расчетов свойством: их частотная передаточная функция полностью определяется одной из трех составляющих — A(ω), Р(ω) или Q(ω). Это существенно упрощает задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем.
Рассмотренные выше временные, передаточные и частотные характеристики однозначно связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Лапласа и Фурье. Эти взаимные связи и соответствия сведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Взаимные соответствия динамических характеристик

Характеристики	h(t)	w(t)	W(s)	W(j)	
Переходная
h(t)=	1		
L–1	
F–1 	
Импульсная
w(t)=		1	L–1{W(s)}	F–1{W(j)}	
Передаточная
W(s)=	sL{h(t)}	L{w(t)}	1	W(j)j=s	
Частотная
W(j)=	jF{h(t)}	F{w(t)}	W(s)|s=j	1	

1.3 Преобразование непрерывных сигналов в дискретные и цифровые

1.3.1 Теорема отсчетов

Непрерывный сигнал u(t) можно преобразовывать в дискретный путем измерения его мгновенных значений с интервалом времени t. Длительность этого интервала выбирается в соответствии с теоремой отсчетов, которая гласит: если наивысшая частота в спектре функции  равна fm , то функция u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений через интервалы времени, не превышающие Δt = 1/2 fm.
Сигнал u(t) может быть точно восстановлен согласно выражению, называемому рядом Котельникова:
			(1.57)
Первые множители слагаемых в формуле (1.57) u (kΔt) представляют собой отсчеты сигнала в моменты времени tk = kΔt = k/2fm, вторые функцию вида (sinx)/x. Естественно, что в действительности отсчеты мгновенных значений сигнала могут быть сделаны лишь в интервале наблюдения (пΔt, mΔt), где п и т — целые числа. В соответствии с этим сигнал восстанавливается не по формуле (1.57), а с некоторой погрешностью рядом:
			(1.58)
Все реальные радиоэлектронные устройства имеют ограниченную полосу пропускания, и определение частоты fm не представляет особых трудностей. Основываясь на теореме отсчетов Котельникова, во многих практически важных случаях можно регистрировать только мгновенные значения сигнала и впоследствии восстановить его полностью с заранее известной погрешностью.
Представление непрерывного сигнала рядом (1.58) — один из способов дискретизации сигнала. В некотором смысле разложение периодического сигнала в ряд Фурье также является дискретизацией, так как непрерывная совокупность значений сигнала заменяется при этом дискретным набором амплитуд и фаз гармоник. Принципиальное отличие дискретизации с использованием ряда (1.57) заключается в том, что отсчеты мгновенных значений сигнала производятся непосредственно в процессе его поступления на вход преобразующего устройства, а для представления в виде ряда Фурье необходимо предварительно полностью зарегистрировать сигнал. 
Полученные в результате дискретизации мгновенные значения сигнала могут быть  любыми в диапазоне от umin до umax и относиться таким образом к непрерывному множеству значений. Переход от этого непрерывного множества к конечному набору дискретных значений называют квантованием. При квантовании в диапазоне umax…umin фиксируется ряд дискретных уровней uk. Наиболее широко распространены устройства квантования с одинаковыми расстояниями между соседними уровнями 
1.3.2 Цифровой сигнал

Если от источника информации сигналы поступают дискретно, то можно сделать так, что нужная информация будет содержаться в пространственном и/или временном распределении электрических импульсов, представляющем двоичные числа. Последовательности таких импульсов называют цифровыми сигналами.

Рисунок 1.6 - Дискретизация и квантование при преобразовании аналогового сигнала в цифровой

От источников часто поступают аналоговые сигналы в виде непрерывно изменяющегося во времени напряжения, тока или других физических величин. Такие сигналы также можно передавать и обрабатывать цифровыми методами, предварительно преобразовав их в цифровые. Рассмотрим пример такого преобразования (рисунок 1.6). Кривая зависимости напряжения от времени представляет собой аналоговый сигнал. Зная верхнюю граничную частоту спектра этого сигнала, в соответствии с теоремой отсчетов выберем интервал времени t, определяющий периодичность отсчета мгновенных значений напряжения. Периодические отсчеты мгновенных значений аналогового сигнала называют дискретизацией. Обычно результаты этих отсчетов получают в виде числа, равного целому количеству «квантов» напряжения U, поэтому такой процесс называют квантованием. Минимальная величина U ограничивается наложенными на сигнал шумами. Не имеет смысла выбирать U меньше двойной амплитуды напряжения шума, так как при этом результат будет зависеть от значения напряжения шума в момент отсчета. Последнее замечание не относиться к случаю выделения повторяющегося сигнала, маскируемого шумом, методом синхронного суммирования (см. раздел 8.4), когда шаг квантования ∆U должен быть меньше ожидаемого минимального значения напряжения выделяемого сигнала.
При преобразовании аналоговых сигналов в цифровые максимальное число уровней квантования определяется качеством сигнала с наложенными на него шумами. Хорошим критерием качества является отношение сигнал/шум (С/Ш) на входе преобразователя. Это отношение получается делением возведенного в квадрат постоянного (в случае сигнала постоянного тока) или среднеквадратичного (эффективного) значения напряжения входного сигнала на квадрат среднеквадратичного значения напряжения шумов:
,	(1.59)
где  - мощность полезного сигнала; - мощность шума, наложенного на полезный сигнал.
Максимальное число уровней квантования равно:
.	(1.60)
Таким образом, в результате дискретизации и квантования непрерывно изменяющегося во времени напряжения (аналогового сигнала) получается цифровой эквивалент — последовательность чисел, физический носитель которых и есть цифровой сигнал. В примере на рисунке 1.6 цифровой сигнал состоит из 3-разрядных двоичных слов: 010, 011, 100, 101, 110, 110, 111, 111, 111, 110, 100...

1.4 Шумы

Шум можно определить как любой сигнал, отличный от полезного, несущего информацию. Источники шумов можно разделить на три основных класса: внутренние источники, в которых шумы возникают в результате  флуктуаций внутри физических систем (тепловой и дробовой шумы); источники шумов искусственного происхождения (двигатели, переключатели, передатчики сигналов других систем); возмущения естественного происхождения (молнии, всплески солнечной активности). Нежелательный эффект от воздействия шума называют помехой.
Тепловой шум возникает вследствие хаотического теплового движения электронов в проводниках. В 1928 г. Найквист показал, что среднеквадратическое (эффективное) значение ЭДС эквивалентного шумового генератора равно:
					(1.61)
где R = 1,38∙10-23Дж/К — постоянная Больцмана; R — сопротивление цепи, Ом; Т — абсолютная температура сопротивления, К; Δf — эквивалентная шумовая полоса пропускания, Гц(1.66). Тепловой шум учитывается путем включения в схему последовательно с «нешумящим» сопротивлением эквивалентного генератора напряжения шума (1.61) или параллельно с «нешумящим» сопротивлением эквивалентного генератора тока шума:
.					(1.62)
Оба варианта включения взаимно эквивалентны и приводят к одинаковым результатам. Легко убедиться, что мощность, отдаваемая генератором шума в согласованную нагрузку, не зависит от величины R и равна:
.					(1.63)
Тепловые шумы создаются только теми элементами электрических цепей, которые рассеивают энергию. Реактивные сопротивления емкости и индуктивности не могут быть источниками теплового шума. Мощность тепловых шумов, создаваемых любыми произвольным образом соединенными пассивными элементами, равна мощности тепловых шумов, генерируемых действительной частью комплексного сопротивления эквивалентной цепи.
Мгновенные значения напряжения теплового шума подчиняются нормальному (гауссову) распределению плотности вероятности:
			(1.64)
Функция р(и) имеет максимальное значение при и = 0, что отражает факт наибольшей вероятности значений вблизи нуля.
Вероятность получить результат измерения мгновенного напряжения между любыми двумя значениями  и  получается интегрированием функции (1.64) в пределах u1 и u2:
	(1.65)
Мощность тепловых шумов имеет равномерную частотную характеристику. Для любой данной полосы частот в любой части спектра мощность шумов на согласованной нагрузке есть величина постоянная и не зависит от величины сопротивления (1.63). Шум с равномерным распределением мощности по частоте называют белым шумом.
Полоса пропускания шумов f есть полоса пропускания рассматриваемой системы или схемы. Эта шумовая полоса определяется для системы при неизменном коэффициенте передачи в пределах полосы пропускания и нулевом коэффициенте передачи за ее пределами. Практические схемы имеют не такие идеальные характеристики. Для любой передаточной характеристики, или  , существует эквивалентная шумовая полоса с постоянной величиной коэффициента передачи  и шириной полосы:
	(1.66)
Дробовой шум возникает при прохождении тока через потенциальный барьер. Случайный характер эмиссии электронов (или дырок) вызывает флуктуации тока относительно среднего значения. Этот шум присутствует как в электронных лампах, так и в полупроводниковых приборах. Теоретический анализ дробовых шумов провел немецкий физик Шоттки в 1918 г. Он показал, что среднеквадратическое значение тока этих шумов равно:
	(1.67)
где q — заряд электрона, Iср — среднее значение постоянного тока, — шумовая полоса пропускания.
Спектральная плотность дробового шума равномерна. Плотность вероятности мгновенных значений шумового тока имеет гауссово (нормальное) распределение.
Теория Шоттки дробового шума применима для любого тока, представляющего последовательность независимых случайных импульсов, несущих одинаковые заряды. Это токи через р-n-переходы полупроводниковых приборов, токи в электровакуумных приборах, а также потоки одинаковых заряженных или нейтральных частиц: фотоэлектронной и вторичной электронной эмиссий, молекулярных пучков, фотонов от раскаленных тел.
Контактные шумы вызываются флуктуацией проводимости контактов электрической цепи. Они возникают в реле, переключателях, транзисторах, диодах и других элементах. Большие контактные шумы генерируются композиционными резисторами, угольными микрофонами и другими элементами, содержащими множество соприкасающихся между собой частиц. К контактным относят и шумы эффекта мерцания катодов электронных ламп (фликкер-эффект).
Отличительные характеристики контактных шумов: пропорциональность эффективного значения шумового тока среднему значению постоянного тока; частотная зависимость плотности распределения мощности вида  экспериментально обнаружена в интервале частот от  до 104 Гц. Распределение амплитуд контактных шумов имеет вид гауссовой кривой. Из-за своей частотной характеристики контактные шумы обычно преобладают в низкочастотных схемах и цепях.
Импульсный шум впервые был обнаружен в полупроводниковых диодах, а позднее был замечен и в интегральных схемах. Возникновение этого шума обусловлено производственными дефектами в р-n-переходах полупроводниковых приборов. Импульсные шумы проявляются как резкие всплески и сопровождаются дискретными изменениями уровня выходного напряжения схемы. Длительность шумовых импульсов колеблется от микросекунд до секунд. Импульсы появляются не периодически от нескольких сот импульсов в секунду до менее одного импульса в минуту. У любого конкретного устройства амплитуда импульсных шумов фиксирована, так как она является функцией параметров дефекта перехода. Обычно эта амплитуда в 2... 100 раз превышает амплитуду тепловых шумов. Распределение спектральной плотности мощности импульсных шумов имеет вид приблизительно 1/f 2.
Внешние источники шумов искусственного и естественного происхождения излучают электромагнитные поля, которые воздействуют на индуктивные и емкостные элементы электронных систем, возбуждая в них шумовые напряжения. Такие шумы иногда называют «наводками».
Шумы также могут возникать, когда токи от двух различных систем протекают через одно сопротивление. При этом падение напряжения, создаваемое каждой из схем на этом сопротивлении, является для другой схемы шумом.
Более полное описание шумов и методов их подавления можно найти в [12].

1.5 Идеальные и реальные источники напряжения и тока

При описании электронных систем пользуются понятием идеальных источников, или генераторов ЭДС eГ и тока i  (рисунок 1.7, а).

Рисунок 1.7 – Идеальные (а) и реальные (б) генераторы

Идеальным генератором ЭДС (генератором напряжения) называется источник постоянного или переменного напряжения, значение которого на выходных зажимах не изменяется при подключении любого сопротивления нагрузки RH. Это возможно, если источник напряжения обладает бесконечно малым внутренним дифференциальным сопротивлением . Такой источник имеет бесконечно большую выходную мощность, так как при   при номинальном выходном напряжении.
Идеальным генератором тока называется источник постоянного или переменного тока, не зависящего от сопротивления нагрузки. Идеальный источник тока имеет бесконечно большое внутреннее дифференциальное сопротивление ().
Реальные генераторы имеют внутреннее сопротивление RГ конечной величины (рисунок 1.7, б). При равных источники напряжения и тока взаимно эквивалентны, так как при подключении к их выходам одинаковых сопротивлений нагрузки токи в нагрузках будут равны.
Легко показать, что отдаваемая генератором в нагрузку мощность максимальна при RH = RГ. В этом случае говорят, что сопротивление нагрузки согласовано с выходным сопротивлением генератора. При согласованном включении источник отдает в нагрузку половину вырабатываемой мощности, а вторая половина рассеивается в самом источнике, т. е. коэффициент полезного действия  = 0,5. Для обеспечения большего  необходимо обеспечить неравенство RГ < RH, причем η возрастает с усилением этого неравенства, т.е. с увеличением отношения RH  / RГ.
При описании электрических цепей будем придерживаться обозначений напряжений и токов, указанных в таблице (1.2):

Таблица 1.2 – Обозначения напряжений токов

Форма сигнала,	Буква для обозначения	Пример	
	величины	индекса		
Общая зависимость величины от времени	Строчная	Прописная		
Постоянная составляющая сигнала	Прописная	Прописная		
Амплитуда синусоидального сигнала	Прописная	Строчная		
Переменная составляющая сигнала	Строчная	Строчная		

Комплексные и векторные величины выделяются жирным шрифтом.
Контрольные задания и вопросы
1	Запишите функцию, определяющую ступенчато изменяющееся напряжение. Нарисуйте график этой функции.
2	Напишите формулу фильтрующего действия дельта-функции.
3	Чем отличается реальное синусоидальное напряжение от гармонической функции?
4	Напишите формулу ряда Фурье в комплексной форме.
5	Напишите уравнение 2-го порядка в символической форме.
6	Дайте определение переходной функции и импульсной переходной функции.
7	Напишите формулу преобразования Лапласа.
8	Какие действия над лапласовскими изображениями функций соответствуют операции дифференцирования / интегрирования оригиналов этих функций?
9	Дайте определение понятия «передаточная функция».
10	Как получить передаточную функцию электрического четырехполюсника, пользуясь понятием операторного сопротивления?
11	Назовите основные виды частотных характеристик.
12	Сформулируйте теорему отсчетов.
13	Кратко изложите процедуру преобразования аналогового сигнала в цифровой.
14	Назовите основные виды шумов и их источники.