МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ 
«Гомельский государственный университет 
имени Франциска Скорины»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

П Р О Г Р А М М А

г о с у д а р с т в е н н о г о   э к з а м е н а

по специальности 1-31 03 03 «Прикладная математика»

	Программа утверждена Советом
	математического факультета
	Протокол  № 6
	от 24 января 2013 г.

	Декан математического факультета
	___________ С.П.ЖОГАЛЬ

Гомель 2013

На государственном экзамене выпускник должен продемонстрировать умение систематизировать информационные сведения программы экзамена, знание основных теорем и понятий, понимание взаимосвязей между ними, умение ими пользоваться.
	С учетом этих требований экзаменующийся по каждому вопросу билета должен сделать обзор материала, соответствующего формулировке вопросов, сопровождая ответ доказательством отдельных теорем.

Математический анализ
1.	Числа натуральные, рациональные и действительные. Полнота множества действительных чисел.

2.	Последовательности и ряды. Предел последовательности и сумма ряда. Критерий Коши. Признаки сходимости положительных и знакопеременных рядов.

3.	Производная и дифференциал функций одного переменного. Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора.

4.	Непрерывные функции одного переменного. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

5.	Интеграл Римана и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие интеграла Лебега.

6.	Дифференцируемость функций нескольких переменных (частные производные и дифференциалы функций многих переменных; необходимые условия дифференцируемости функций многих переменных; достаточные условия дифференцируемости).

7.	Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые условия локального экстремума функции многих переменных.

8.	Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.

9.	Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).

10.	Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы и связь между ними.

11.	Производная функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции. Степенной ряд, круг его сходимости. Ряд Тейлора.

12.	Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.

13.	Ряд Лорана. Особые точки. Вычет, применение теории вычетов к вычислению интегралов. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.
Геометрия и алгебра
1.	Комплексные числа, операции над ними. Формула Муавра. Корни из комплексного числа. 

2.	Многочлены с действительными коэффициентами. Теорема Виета. Основная теорема алгебры.

3.	Теоремы Крамера, Кронекера - Капелли.

4.	Квадратичные формы. Матрицы линейных преобразований и их свойства.

5.	Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости 3-х векторов.

6.	Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Теорема о задании прямой в аффинной системе координат линейным уравнением.

7.	Уравнение плоскости в общем виде. Теорема о задании линейным уравнением плоскости в аффинной системе координат.

Теория вероятностей и математическая статистика
1.	Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

2.	Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Бернулли.

3.	Функция распределения, плотность вероятности, их свойства. Закон распределения случайной величины.

4.	Основные понятия теории статистической проверки гипотез. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения. Гипотезы и критерии согласия. Критерий согласия Хи-квадрат Пирсона.

Дискретная математика и математическая логика
1.	Булевы функции. Элементарные булевы функции. Теорема о числе булевых функций. Минимизация булевых функций. 

Дифференциальные уравнения
1.	Понятие дифференциального уравнения и его решения. Интегрируемые типы уравнений (уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения Бернулли).

2.	Основные теоремы теории дифференциальных уравнений: теорема существования и единственности решения задачи Коши и методы ее доказательства, теоремы о характере зависимости решения от параметров и начальных данных (приводятся формулировки этих теорем и выясняется их роль в теории дифференциальных уравнений).

3.	Принцип суперпозиции для линейных уравнений и систем (приводятся формулировки соответствующих теорем и даются доказательства не менее двух из них, выясняется их роль в теории линейных дифференциальных уравнений). Метод Лагранжа для уравнений и систем (излагается сущность метода, приводится доказательство соответствующей теоремы для уравнения или системы (по выбору)).

4.	Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения и его общее решение (приводятся формулировки и доказательства). Фундаментальная система решений линейной однородной системы и общее решение этой системы.

5.	Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (излагается метод решения и дается обоснование этого метода соответствующими теоремами). Решение линейных систем с постоянными коэффициентами.

Теоретическая механика
1.	Способы задания движения точки. Вычисление скорости и ускорения материальной точки при различных способах задания движения.

2.	Основные теоремы динамики точки: теорема об изменении кинетической энергии, теорема об изменении количества движения и теорема об изменении кинетического момента.

Уравнения математической физики
1.	Классификация дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Понятие корректности задачи для уравнений математической физики. Пример Адамара.

2.	Смешанная задача. Метод Фурье для уравнения колебаний струны.

Методы численного анализа
1. Интерполирование функций (постановка задачи; единственность интерполяционного многочлена; формула Лагранжа).

2.	Численное интегрирование (квадратурные формулы трапеций и Симпсона; погрешность).

3.	Одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Программирование
1.	Язык программирования Паскаль. Встроенные типы данных. Операции и выражения. Операторы ввода/вывода. Управляющие операторы. 

2.	Язык программирования Паскаль. Строковый тип. Принцип хранения строк в оперативной памяти. Операции и встроенные функции работы со строками.

3.	Язык программирования Паскаль. Назначение типов данных, определяемых пользователем. Синтаксис определения типов, объявления переменных, работы с переменными объявленных типов.

4.	Язык программирования Паскаль. Текстовые, типизированные и нетипизированные файлы. Файловый ввод-вывод.

5.	Язык программирования Си. Основные и производные типы. Операторы управления вычислительным процессом.

6.	Язык программирования Си. Указатели. Указатели и массивы. Динамическое выделение памяти.

7.	Язык программирования Си. Обработка символов и строк.

8.	Язык программирования Си. Функции пользователя. Передача данных между функциями. Классы хранения и видимость переменных.

9.	Язык программирования Си. Работа с файлами через поток ввода/вывода.

10.	Язык программирования С++. Понятие и описание классов. Члены класса. Описание объектов класса.

11.	Язык программирования С++. Конструкторы и деструкторы классов: назначение, виды, вызов. Создание и уничтожение объектов класса.

12.	Язык программирования С++. Наследование классов. Управление доступом к членам класса при наследовании. Простое и множественное наследование.

13.	Язык программирования С++. Друзья класса. Перегрузка операций.

Модели данных и СУБД
1.	Основные модели баз данных, уровни представления. Понятие системы управления базами данных. Этапы проектирования баз данных. Нормализация отношений. 

2.	Использование языка SQL для выборки данных из таблиц базы данных. 

3.	Использование языка SQL для обновления таблиц базы данных. 

4.	Понятия языка манипулирования данными и языка описания данных и создание таблиц с их помощью.

Методы оптимизации
1.	Симплекс-метод. Алгоритм обратной матрицы.
2.	Обобщенное и классическое правила Лагранжа для задач с ограничениями в виде равенств.

Исследование операций
1.	Задача о коммивояжере. Метод ветвей и границ.

2.	Матричные игры. Верхняя и нижняя цены игры. Основная теорема.

3.	Модели сетевого планирования. Расчет временных параметров.

4.	Игры с природой. Критерии оптимальности.

Имитационное и статистическое моделирование
1.	Понятие модели сложной системы. Виды моделирования. Предпосылки для статистического имитационного моделирования, его достоинства  и ограничения.

2.	Генераторы псевдослучайных величин, их виды и свойства.

3.	Методы получения случайных величин для различных распределений.

4.	Понятие о статистическом эксперименте. Метод Монте-Карло.

5.	Представление динамики в имитационных моделях. Способы организации квазипараллелизма.

6.	Моделирование основных типов систем массового обслуживания в GPSS.

Компьютерные сети
1.	Методы коммутации в компьютерных сетях. Модель взаимодействия открытых систем.

2.	Способы адресации в сетях ТСР/IP. Особенности технологии АТМ.

ЛИТЕРАТУРА

Математический анализ
1.	Никольский С.М. Курс математического анализа: Учебное пособие в 2-х томах, 3-е издание. М., Наука, 1983.
2.	Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник в 2-х т. М. Высшая школа. 1981.
3.	Зорич В.А. Математический анализ: Учебник в 2-х т. М.: Наука, 1981, 1984.
4.	Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 319 с.

Геометрия и алгебра
1.	Миланов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия, Минск, 1986.
2.	Курош А.Г. Курс высшей алгебры. (Любое издание).

Теория вероятностей и математическая статистика
1.	Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.
2.	Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

Дискретная математика и математическая логика
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979.
2. Гаврилов Г.П. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1977.

Дифференциальные уравнения
1.	Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Вышэйшая школа, 1974.
2.	Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: 1984.
Теоретическая механика
1.	Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики: В 2-х ч. [Текст] / Н.Н.Бухгольц – М.: Наука, 1972.
2.	Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст] / С.М.Тарг – М.: Наука, 1976.
3.	Яблонский, А.А. Курс теоретической механики, ч. 1, 2. [Текст] / А.А.Яблонский – М.: Наука, 1971.
Уравнения математической физики
1.	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
2.	Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.
3.	Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Л.1950.

Методы численного анализа
1.	Демидович П.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.:Наука, 1970.
2.	Крылов В.Н., Бабков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы высшей математики. Мн.: Вышэйшая школа. 1972.

Программирование
1.	Каган Б.М. " Электронно-вычислительные машины и системы". М.,"Радио и связь", 1989.-546с.
2.	Морс С.П., Алберт Д.Д. "Архитектура микропроцессора 80286" М.,"Радио и связь", 1990.-304с. 
3.	Зуев Е.А.  "Программирование на языке TURBO PASCAL 6.0, 7.0"  М.,"Радио и связь", 1993.-384с.
4.	Касьянов В.Н., Сабельфельд В.К. "Сборник заданий по практикуму на ЭВМ". М.,"Наука",1986,-272с.
5.	А.И.Касаткин,  А.Н.Вальвачев.  От Turbo C к Borland  C++.  Минск, "Вышейшая школа", 1992.
6.	Юлин  В.А., Булатова  И.Р.  Приглашение  к  Си.- Минск: Вышэйшая    школа, 199О-224с.
7.	Бруно Бабэ. Просто и ясно о Borland C++. М.: БИНОМ, 1996.
8.	Скляров В.А. Язык С++  и объектно-ориентированное программирование. – Мн.: Выш. шк., 1997.-478с.
9.	Неформальное введение в С++ и Turbo Vision. С-Петербург, Галерея «ПЕТРОПОЛЬ», 1992.
10.	К.Сурков, Д.Сурков, А.Вальвачев Программирование в среде Delphi 2.0. – Мн.:”Попурри”, 1977. – 640 с., ил.
11.	В.В.Фаронов Delphi 4. Учебный курс. – М.: “Нолидж”, 1999. – 464 с., ил.

Модели данных и СУБД
1.	Гаврилова Т.А., Хорошевский В.Ф. Базы знаний интеллектуальных систем: Учеб. пособие. СПб. Питер, 2000. 384 с.
2.	Д.Марселлус. Программирование экспертных систем на Турбо Прологе. М.: Финансы и статистика. 1994. 225 с.
3.	Змитрович А. И. Интеллектуальные информационные системы. Мн.: Тетрасистемс, 1997. 367 с.
4.	Клоксин У., Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.: Мир, 1987. 336 с.
5.	Крисевич В.С., Кузьмин Л.А. и др. Экспертные системы для персональных компьютеров: Справочное пособие. Мн.: Вышэйшая школа, 1990 -  195 с.
6.	Дейт К. Введение в системы баз данных-М.:Наукак,1980.
7.	Дишл С.М. Проектирование баз данных.-М.:1988.
8.	Мейер Д. Теория реляционных баз данных.-М.:1987.

Методы оптимизации
1.Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск,1981.

Исследование операций
1.Вагнер Г. Основы исследования операций. Т. 1-3 М.: Сов. радио, 1972 - 1973.
2.Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.

Имитационное и статистическое моделирование
1.	Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2. М.: Мир,1983.
2.	Левчук В. Д. Справочное пособие по дисциплине «Машинное моделирование сложных систем». –Гомель.: ГГУ, 1999.
3.	Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988.
4.	Максимей И.В., Левчук В.Д., Жогаль С.П., Подобедов В.Н.. Задачи и модели исследования операций. Ч.3. Технология имитации на ЭВМ и принятие решений. Гомель: БелГУТ, 1999.
5.	Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. -М.: Мир, 1975. -500 с.
6.	Технология системного моделирования. /Под общ. ред. С. В. Емельянова С.В. и др. –М.: Машиностроение; Берлин: Техник, 1988. –520 с.
7.	Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. Учебное пособие – Мн.: Дизайн ПРО, 1997. 288 с.
8.	Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М.: Мир, 1978.
Компьютерные сети
1.	М. В. Сокольский. Всё об Intranet и Internet. М. "ЭЛИОТ", 1998. 
2.	Д. Дэвис, Д. Барбер, У. Прайс, С. Соломонидес. Вычислительные сети и сетевые протоколы. М. Мир, 1982. 
3.	Сетевые протоколы и управление в распределенных вычислительных сис-темах. отв. ред. В. Г. Лазарев. М. Наука, 1986. 
4.	Ф. Дженингс. Практическая передача данных. Модемы, сети и протоколы. М. Мир, 1989.
5.	В. В. Овчинников, П. П. Рыбкин. "Техническая база интерфейсов локальных вычислительных сетей". М. Радио и связь, 1989.
6.	Локальные сети персональных компьютеров. Монтаж сети, установка про-граммного обеспечения. М. Диалог-МИФИ, 1994.
7.	В. Л. Бройдо. Вычислительные системы, сети и коммуникации. Москва, С.-Петербург. и т.д.. "Питер", 2002.
8.	Коммутация и маршрутизация IP/IPX трафика. М. В. Кульгин, АйТи. – М.: Компьютер пресс, 1998.
9.	Волоконная оптика в локальных и корпоративных сетях связи. А. Б. Семёнов, АйТи. – М.: Компьютер пресс, 1998.
10.	Персональные компьютеры в сетях TCP/IP. Крейг Хант. Пер. с англ. ВНV- Киев, 1997.

ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАЧ

Математический анализ

1. Найти предел 	.

2. Найти	  .

3. Найти точки разрыва функции , установить их род и указать скачки в точках разрыва первого рода, если
				f(x) = sgn cos x.

4.  Проведя исследование, построить график функции
.

5. Вычислить следующие интегралы:
				а) б) .

6.   Найти  где  

7. Вычислить 		.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
			
y = 2x - x2 ,		x + y = 0.

9. Исследовать сходимость интеграла .	

10. Найти , если

11. Найти:  .
  
12. Исследовать ряд на сходимость .

13. Исследовать ряд на сходимость 	.

14. Исследовать ряд на сходимость .

14.	Найти области сходимости функционального ряда и его сумму и 
исследовать ее на непрерывность

16. Доказать равномерную сходимость ряда в указанном промежутке

17. Написать ряд Фурье функции
             на отрезке  

18. Найти , если  .

19. Найти дифференциал	d3u,	если	u = x3 + y3 + xy(x - y)

20. Изменить порядок интегрирования в следующем повторном интеграле

21. Вычислить , где 0 начало координат,  A (1,1)  
	по следующим кривым:
	а) ОА - отрезок прямой линии;
	б) ОА - парабола, ось которой есть OY;
	в) ОА - ломаная линия, состоящая из отрезков ОВ, оси ОХ и 
		отрезка ВА, параллельного оси OY.
22. Вычислить пределы:

	а) ; 	б) .

23. Существуют ли такие a и b, при которых функция

всюду дифференцируема?
	
24. Исследовать на дифференцируемость функцию

25. Разложить функцию 	f(z) =  в ряд Лорана в кольцах
	 и	

26. Исследовать характер изолированных особых точек функции	
	, включая и точку . 
Найти вычеты функции   f   в этих точках.

27. C помощью теории вычетов вычислить интеграл
		.

28. Является ли оператор , действующий по формуле 

Ax = (2x2, 2x3, …, 2xn, …),  линейным, ограниченным? 
Если да, то найти его норму.

Геометрия и алгебра

1.	Решите матричные уравнения, т.е. найдите множества матриц X, для которых справедливо равенствоХ   =  ;

2.	Пользуясь схемой Горнера, вычислите f (а), если: 

f (x) = x4 – 3x3 + 6x2 – 10x – 16, а = 4;

3.	Найдите разложение вектора с по векторам  a  и  b:

		а (4, – 2), b (3,5), c (1, – 7);

4.	Докажите, что фигура, ограниченная прямыми:

		x– 3y + 1 = 0, 	x – 3y + 12 = 0, 	

		3x  + y – 1 = 0,3x + y + 10 = 0, – квадрат. 

		Вычислите его площадь.

5.	Найдите точку, симметричную точке P (6, – 5,5) относительно плоскости 

2x – 3y + z – 4 = 0.

6.	Исследуйте, являются ли данные векторы 1, sin x, cos x линейно зависимыми. В случае утвердительного ответа найдите нетривиальную линейную комбинацию, равную  0:
  	
7.	Исследуйте на совместность и найдите решения системы:

8.	Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений:

9.	Линейный оператор f в базисе е1, е2 имеет матрицу  . 
Найдите его матрицу в базисе  а1= 2е1- е2, а2 = е1+ 2е2.   

10.	Убедитесь, что векторы а1, а2 ортогональны, и дополните систему  

а1, а2 до ортогонального базиса, если:

а1 (1, – 2, 2, – 3), а2 (2,  – 3, 2, 4)

11.	Найдите расстояние между параллельными плоскостями:

  и 

12.	Найдите проекцию точки  на плоскость 
	
13.	Найдите базис ядра линейного оператора  пространства , заданного в некотором базисе матрицей А:
А= 

Теория вероятностей и математическая статистика
1.	В коробке 6 деталей, причём 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 детали. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных деталей окажутся: а) одна окрашенная; б) 2 окрашенные; в) хотя бы одна окрашенная деталь.

2.	Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

3.	Имеются 10 одинаковых урн, из которых в девяти находятся по 2 черных и по 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из взятой наудачу урны извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар  извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?

4.	На отрезок АВ  длины а на удачу брошены 5 точек. Найти вероятность того, что 2 точки будут находится  от точки А на расстоянии, меньшем х, а 3 – на расстоянии, большем х.

5.	На отрезке длиной  наудачу выбраны 2 точки. Какова вероятность, что расстояниемежду ними меньше , где 0 < < 1?

6.	В партии из 10 деталей имеются 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию числа стандартных деталей среди отобранных.

7.	Случайная величина  Х имеет плотность распределения 

.

Найти параметр С, функцию распределения и дисперсию случайной 
величины Х.

Дискретная математика и математическая логика

1. Упростить схему
x          у        z                    

                                                                   

2. Доказать тождественную истинность формулы

3. Эквивалентны ли формулы

Методы оптимизации
1. Решить симплекс-методом

2. Исследовать задачу НЛП, используя правило множителей Лагранжа

3. Построить оптимальную по суммарному штрафу последовательность 
обслуживания заявок на одном приборе с данными
N	1	2	3	4	5	
t (мин)
время 
обслуживания	7	5	11	10	3	
с (руб)
штраф за ожидание в очереди	4	8	5	5	6	
Исследование операций

1. Решить задачу о кратчайшем маршруте 

2. Решить матричную игру геометрическим способом

Дифференциальные уравнения
1. Проинтегрировать следующую систему дифференциальных уравнений:

2.	Проинтегрировать следующую систему дифференциальных уравнений:

3.	Найти решение указанной ниже задачи:

4.	Найти решение указанной ниже задачи:

5.	Найти решение указанной ниже задачи:

6.	Найти решение указанной ниже задачи:

7.	Найти решение указанной ниже задачи:

8.	Найти решение указанной ниже задачи:

9.	Проинтегрировать следующее уравнение:

10.	Проинтегрировать следующее уравнение:

Уравнения математической физики

1. Решите задачу Коши:

2. Приведите уравнение к каноническому виду:

3. Приведите уравнение к каноническому виду:

4. Решите задачу Коши:

Теоретическая механика

1. Определить реакцию опоры  в , если момент пары сил , интенсивность распределённой нагрузки , размеры , .

2. Тело массой  падает по вертикали, сила сопротивления воздуха . Определить максимальную скорость падения тела.
Методы численного анализа

1.	Решить задачу Коши методом Эйлера

.

2.	Используя интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов вычислить приближенное значение функции в точке х*
х* = 1,25

  х	  y	
1,2	2,07	
1,3	2,86	
1,4	3,84	
1,5	5,06	

3.	Вычислить интеграл по обобщенной формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 4 равные части